策略梯度算法（Policy Gradient, PG）是一种以策略梯度为核心的强化学习算法，其核心宗旨是通过对策略函数的直接优化，以实现期望回报的最大化。策略函数通常是一个参数化的映射，它根据当前状态输出一个动作或动作的概率分布。在PG算法中，通过对策略函数参数的调整，我们能够改变动作选择的概率分布，进而提升长期回报。该算法的核心逻辑是：动作若能带来高回报，则增加其选择概率；反之，若回报较低，则降低其选择概率。
策略梯度算法的数学表述 策略梯度算法的数学推导可以分解为以下几个关键步骤：
定义目标函数：PG算法旨在最大化期望回报，即策略πθ在从初始状态s0出发，经过一系列状态和动作后，得到的累积折扣回报的期望值。数学上，这可以表示为： J(πθ) = E[Στ~πθ[R(τ)]] （公式1） 其中，τ代表一条轨迹，即从初始状态到终止状态的一系列状态和动作序列。R(τ)为轨迹的累积折扣回报，即Σt=0^Tγ^tr_t，r_t是在时刻t获得的即时奖励，γ为折扣因子，T为轨迹长度。
计算梯度：为了最大化目标函数，需要计算其相对于策略参数θ的梯度，并利用梯度上升法进行参数更新。根据定义，我们有： ∇θJ(πθ) = ∇θE[Στ~πθ[R(τ)]] （公式2） 由于期望值涉及对所有可能轨迹的积分或求和，直接计算梯度较为复杂。为简化计算，我们可以使用对数求导和积分与微分交换的技巧，将公式2转换为： ∇θJ(πθ) = E[Στ~πθ[∇θlogP(τ|θ)R(τ)]] （公式3） 其中，P(τ|θ)是在策略参数θ下生成轨迹τ的概率。轨迹由一系列状态转移和策略选择组成，因此有： P(τ|θ) = P(s0)Πt=0^(T-1)[P(s_{t+1}|s_t,a_t)πθ(a_t|s_t)] （公式4） 将公式4代入公式3并取对数，得到： ∇θJ(πθ) = E[Στ~πθ[R(τ)Σt=0^(T-1)∇θlogπθ(a_t|s_t)]] （公式5） 注意到公式5中只有策略函数的对数项包含参数θ，其余项均为常数。另外，由于我们只能从环境中采样有限数量的轨迹，因此需要用样本均值来近似期望值。因此，我们可以得到以下梯度估计公式： ∇θJ(πθ) ≈ 1/NΣn=1^N[R(τ^n)Σt=0^(T_n-1)∇θlogπθ(a_t^n|s_t^n)] （公式6） 其中，N为轨迹数量，T_n为第n条轨迹的长度，s_t^n和a_t^n分别为第n条轨迹中时刻t的状态和动作。
更新参数：根据梯度估计公式（6），我们可以使用梯度上升法来更新策略参数，即： θ ← θ + α∇θJ(πθ) （公式7） 其中，α为学习率，控制参数更新的步长。
策略梯度算法的原理与应用 PG算法的原理基于策略梯度定理，该定理描述了在马尔可夫决策过程中，期望回报相对于策略参数的梯度形式。PG算法利用这一定理，通过采样轨迹并计算累积折扣回报，来估计和优化策略梯度，从而直接优化策略函数。PG算法在强化学习领域具有重大意义和应用价值，因为它可以处理连续动作空间和随机策略，而传统的值函数方法在这些情况下通常受限。PG算法是一种灵活且通用的算法，可以与其他技术结合，形成更高级和强大的算法，如Actor-Critic算法、TRPO算法、PPO算法等。PG算法在各种复杂和实际的强化学习任务中有着广泛的应用，如机器人控制、自动驾驶、游戏玩家等。
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